Расчет теоретического минимума количества комбинаций в системе на N номеров, по M номеров в комбинации, которая гарантирует выпадение t номеров при X угаданных.
Если вы не знакомыми с основными понятиями системной игры читайте: "Основы системной игры".Характеристикой качества неполной системы являются гарантии, которые она дает
и количество комбинаций в ней. Самое распространенное требование к гарантиям
системы, это обязательное выпадение комбинации некоторого размера при выполнении
заданных условий. Обычно это формулируется так: "система гарантирует хотя бы
одно совпадение t номеров, при угаданных X номерах". При этом, разумеется, должно
быть t<=X. При одних и тех же гарантиях, хотелось бы, чтобы система состояла
из как можно меньшего числа вариантов, так как расходы на игру пропорциональны
количеству вариантов в системе. Поэтому создатели систем все время стараются
сократить количество вариантов для систем с заданными гарантиями. Возникает
естественный вопрос, а чему равно минимально возможное число вариантов, для
указанного набора условий? Вопрос этот очень непростой и в общем случае ответ
на него не известен. На самом деле этот вопрос актуален не только для лотерей.
В математике такие системы называются t-схемами (t-designs) они применяются
в различных областях науки. В прошлом t-схемами интересовались многие известные
математики, и в настоящее время их исследованию также уделяется большое внимание.
Хотя, как я уже сказал, в общем случае минимальное количество вариантов в системе
с заданными гарантиями точно не известно, достаточно легко указать предел, меньше
которого это значение быть не может. Такой предел часто называют "теоретический
минимум числа вариантов системы".
Давайте разберемся как его вычислить.
Мы будем рассматривать систему с достаточно общими параметрами. Пусть общее
количество номеров использованных в системе N, а количество номеров в каждом
варианте M. Нас будут интересовать системы гарантирующие совпадение t номеров,
при угаданных X номерах. Рассмотрим сначала простой частный случай когда t=X.
Тогда нам просто требуется, чтобы любая комбинация t номеров (выбранных из N
возможных) содержалась хотя бы в одной из комбинаций системы. Причем
минимум будет тогда, когда любая комбинация t номеров будет содержаться ровно
в одной комбинации системы. Поскольку всего комбинаций из t номеров имеется
C(N,t), а в каждой комбинации системы содержится C(M,t) комбинаций из t номеров.
Следовательно потребуется как минимум C(N,t)/C(N,t) комбинаций.
Теперь рассмотрим общий случай. Если мы угадали X номеров из N то это может
быть сделано C(N,X) различными способами. Назвем этот набор вариантов XN-набором.
Для любого из вариантов этого набора условия гарантии должны быть выполнены.
Каждая комбинация системы содержит M номеров среди которых есть C(M,t) комбинаций
из t номеров. Наличие в нашей системе одной комбинации из t номеров обеспечивает
выплнение гарантии для всех вариантов из XN-набора, которые содержат эти t номеров,
и еще X-t каких-то номеров из оставшихся доступными N-M. Таких вариантов имеется
C(N-M, X-t). Следовательно все C(M,t) комбинаций из t номеров обеспечивают выполнение
гарантии не более чем для C(M,t)*C(N-M, X-t) вариантов из XN-набора. Здесь мы
учли только точные совпадения ровно t номеров, но поскольку нас устраивают и
совпадения большего числа номеров, то сюда надо добавить соответствующие выражения
для t+1, t+2,... и т.д. (но число совпавших номеров не может быть больше M и
X). Чтобы получить искомое минимальное количество комбинаций в системе, надо
разделить все количество вариантов в XN-наборе, на количество вариантов, которое
обеспечивает одна комбинация системы.
C(N,X)/Сумма( C(M,i)*C(N-M, X-i))
где сумма берется по всем i начиная от i=t и пока i<=M, i<=X.
Это и есть искомый теоретический минимум.
Подставив в соответствующих полях ввода значения M, N, X, t и нажав кнопку вы
можете посмотреть чему он равен для этих значений.
Результат расчета может быть не целым, но поскольку количество вариантов это
всегда целое число, то выводится наименьшее целое число не меньшее полученного
значения. Чтобы вывести точное вещественное значение, отметьте флажок "не приводить
к целому"
Автор скрипта: BB
Специально для сайта http://topfortuna.com