© Блеск и нищета мартингейла

"...Еще не ставили? И не ставьте!
А если уж начнете, то никогда не удваивайте ставки при проигрыше"

У. Теккерей, Собрание соч. в 12 т. Т. 8. "Ньюкомы".

     

Стратегия мартингейла или мартингала хорошо известна большинству игроков в азартные игры, хотя и не все знают это название, некоторые называют эту стратегию "игрой с удвоением ставки". Вообще говоря, речь не обязательно идет именно об удвоении, в более общем случае говорят о повышении ставки, такие стратегии еще называют прогрессивными. Имеется множество вариантов этих стратегий, объединенных общей идеей: производится серия игр до первого выигрыша, который перекроет все уже сделанные расходы. Для того чтобы это было возможно, разумеется, ставка должна все время увеличиваться. Прогрессивные стратегии могут применяться практически в любой азартной игре, а наибольшее распространение они имеют в казино при игре в рулетку, где они, собственно говоря, впервые и начали применяться. Возможно применение мартингейла и в числовых лотереях, хотя в этом случае приходится использовать более сложные схемы и часто это требует очень больших сумм денег.

Мартингейл часто рекламируют как "абсолютно надежную, беспроигрышную стратегию" Вот, например, несколько заголовков публикаций в газетах и в интернете, а также фраз из анонсов книг, посвященных азартным играм: "Секретный способ зарабатывания денег в казино", "Как легально обчистить казино", "Система беспроигрышной игры в рулетку", "Зарабатывайте на КЕНО", "Гарантированный доход в числовых лотереях". Во всех перечисленных публикациях описывались мартингейл-стратегии. Как тут не возникнуть чувству эйфории при чтении таких заголовков, а прочитав описание метода, наверное, многие захотят попробовать его в действии. Давайте все же немного повременим с экспериментами и попробуем разобраться, что же действительно дает мартингейл и так ли "беспроигрышна" эта стратегия. А то ведь здравый смысл подсказывает, что ВСЕ выигрывать не могут, - откуда же тогда деньгам взяться?

Рассмотрим простейшую классическую схему мартингейла. Делаем первую ставку в игре в рулетку, например, на красное - один доллар. Если выпадает красное мы получаем выигрыш два доллара и прекращаем игру. Чистый доход при этом - один доллар. Если выпадает черное, то играем еще раз, но ставим при этом 2 доллара. Если мы при этом выигрываем, сумма выигрыша составляет 4 доллара и наш чистый доход 4-2-1 = 1 доллар. Если мы опять проигрываем, то играем на 4 доллара, при выигрыше получаем 8-4-2-1 = 1 доллар, при проигрыше играем на 8 долларов и так далее в случаях последовательных проигрышей каждый раз увеличиваем ставку в два раза и когда мы, наконец, выиграем то вернем все затраченные деньги плюс получим чистый доход 1 доллар. Получается, что при такой схеме игры мы с гарантией получаем чистый доход равный первоначальной ставке. Ведь выпадение цветов на рулетке случайно (если игра ведется честно) и раньше или позже обязательно должно выпасть красное. Точно так же можно ставить на черное, на чет или на нечет, вообще описанная схема годится для любой игры, где имеется достаточно большая (близкая к половине) вероятность выигрыша на каждом этапе и за выигрыш выплачивается удвоенная начальная ставка.

На первый взгляд стратегия выглядит безупречной. Почему же все-таки казино до сих пор существуют и не только не разорились, непрерывно выплачивая выигрыши, но и получают немалый доход. В качестве объяснения часто приводят то, что казино ограничивает максимальную величину ставок и игрок часто может попасть в ситуацию когда он не может дальше повышать ставку и довести игру по мартингейлу до победного конца. К аналогичной проблеме приводит ограниченность суммы денег у игрока. Эти объяснения в принципе правильные: реальные проигрыши в игре по мартингейлу связаны либо с тем, что ставка "упирается" в верхний предел, либо с исчерпанием финансовых резервов игрока. Но корень проблемы на самом деле лежит глубже, и даже если игроки будут выбирать казино, где допускаются очень большие ставки и, направляясь на игру, назанимают огромную кучу денег итог будет тот же самый. Какой? Давайте разберемся что же произойдет, если много игроков будут играть по мартингейлу. Для простоты рассмотрим так называемую "безобидную рулетку" т.е. рулетку, на которой нет зеро, а имеются только красные и черные номера. От обычной такая рулетка отличается тем, что при ставке на цвет вероятность выигрыша равна точно половине (в настоящей рулетке она немного меньше половины, именно эта разница и обеспечивает доход казино). Итак, пусть n человек играют по мартингейлу с начальной ставкой 1 доллар. После первой игры примерно половина игроков выиграет по одному доллару и закончит игру, а вторая половина проиграет по одному доллару. После второй игры (в ней будет участвовать только n/2 игроков, проигравших в первой игре) половина участвующих игроков, т.е. четвертая часть от общего числа игроков, получит по 4-2-1=1 доллару дохода и закончит игру, а оставшаяся четверть игроков проиграет еще по два доллара. Т.е. после второй игры 1/2+1/4=3/4 игроков выиграют по доллару, а 1/4 проиграет в сумме двух игр по 3 доллара Для наглядности будем заносить результаты в табличку:

Из таблицы хорошо видно как работает механизм мартингейла - деньги не берутся из ниоткуда, и не выигрываются у казино. Деньги просто перераспределяются между игроками. На каждом этапе игры количество проигравших сокращается, а количество выигравших растет, но общее количество выигранных и проигранных денег все равно остается одинаковым и доход всех игроков  в среднем равен 0. Точнее он равен 0 в нашей упрощенной модели с безобидной рулеткой, в настоящей игре он будет немного меньше 0 (т.е. казино будет получать свой нормальный доход). Как видите, мартингейл не позволяет постоянно зарабатывать деньги и легально "грабить" казино. Он является просто механизмом перераспределения денег между игроками, как кстати и лотерея, только игру по мартингейлу можно назвать "лотереей наоборот". Действительно, в лотерее деньги собираются понемногу со всех игроков, а затем выплачиваются небольшой подгруппе игроков-победителей. Выигрыш каждого из победителей намного больше, чем потеря каждого из проигравших, но число проигравших намного больше и общая сумма выигрышей не больше общей суммы проигрышей (в наших лотереях она примерно вдвое меньше). Мартингейл работает в точности наоборот: малая группа игроков теряет большие суммы, а намного большая группа игроков получает небольшие выигрыши, причем, как и в лотерее, общая сумма выигрышей меньше общей суммы проигрышей. То что число выигрывших при игре по мартингейлу намного больше числа проигравших объясняет популярность этой стратегии - почти все кто ей пользовался действительно выигрывали! В этом заключается и большая опасность: даже те кто знает механизм распределения денег в мартингейле поддаваясь магии постоянных выигрышей легко забывают о том, что проигрыши неизбезно случаются, а множество людей просто не понимают этого. Переубедить людей далеких от математики, оказывается очень трудно, единственный факт который они видят - играющие по мартингейлу  всегда выигрывают. Тех же кто проигрывает - немного и их во внимние не принимают, а ведь их потери больше суммарного дохода выигравших.

Значит ли это, что мартингейлом не следует пользоваться вообще? Нет, не значит. Он приносит игроку не больший (хотя и не меньший) убыток, чем любая другая стратегия игры в казино. Мартингейл самая подходящая стратегия для тех игроков, которым важнее сам факт выигрыша, а не денежный итог серии игр и которые безболезненно могут расстаться с суммой  своей максимальной ставки. Игра по мартингейлу очень азартна: прокручиваются большие деньги, адреналин у игроков "течет рекой", а в итоге почти наверняка еще и небольшой выигрыш.

Что стоит запомнить, тем кто захочет применять эту стратегию на практике? Вот основные правила:

1)Мартингейл не дает в среднем никакого выигрыша.
2)Играя по мартингейлу вы почти всегда будете выходить победителем, но играя часто вы неибежно будете и проигрывать, причем больше, чем все выигрыши вместе взятые.
3)Нельзя делать ставку больше половины  суммы потеря которой станет для вас ударом.

Ваши шансы можно оценить заранее: Если p вероятность успеха в одной игре (для рулетки p=18/37), то вы выиграете одну начальную ставку (н.с.) с вероятностью 1-(1-p)^m,  или проиграете сумму (2^m-1)*н.с. с вероятностью (1-p)^m. Величина  m - максимальное число игр определяется из условия:

(н.с.)*(2^m-1)< S , где S количество денег, которое вы можете потратить.

например: если начальная ставка - 5$,  а денег у вас- 1500$ получаем

m = 8 так как 5*2⁸ =  5*256 = 1280 < 1500

(значение m девять уже не годится, так как 5*2⁹ =  5*512 = 2560 >1500)

вероятнсть выигрыша в серии из 8 игр 1-(1-18/37)⁸=0.99516,

следовательно примерно в 995 случаях из 1000 вы выиграете 5$, а в остальных 5 случаях вы проиграете 1275$

Существуют другие варианты прогрессивных стратегий: можно например, утраивать ставку или увеличивать ее по некоторой схеме. Сказанное выше остается справедливым для всех таких стратегий (величины вероятностей и сумм выигрышей при этом будут, разумеется другие). То какую часть поставленных денег (s) в среднем будет терять игрок не зависит от схемы повышения ставки, а зависит только от средней вероятности выигрыша  в каждой игре (p) и коэффициента призовой выплаты (A). Средний выигрыш (или потери) легко расчитать:

Средний выигрыш R = s * A * p

Средние потери L = s * (1-A*p) 

Мартингейл может применяться и в числовых лотереях, но в большинстве случаев его применение вряд ли оправдано. Действительно, для лотерей величина 1- A*p около 0.5 т.е. игрок теряет в среднем половину своих денег! Собственно говоря это не недостаток мартингейла: потери для всех стратегий игры в лотерею одинаковы, однако при игре по мартингейлу в лотерее игрок лишен утешения в виде мечты об огромном выигрыше, поскольку для него годятся лишь варианты игры с относительно большой вероятностью выигрыша, а в этих вариантах крупных сумм не бывает. Рассмотрим в качестве примера вариант "КЕНО" 20 из 60 в который играют в прибалтийских государствах. В этом варианте можно играть всего на один номер и в случае успеха получить приз - полторы ставки. Расчитаем средние доход и потери при игре на один номер в "КЕНО" 20 из 60:

вероятность угадать один номер p=1/3,  коэффициент призовой выплаты A=1.5

получаем средний выигрыш R = 1.5*1/3=0.5 ставки т.е. игрок вернет себе в среднем только половину затраченных денег.

Кстати, в "КЕНО" 20 из 60 на один номер сыграть в мартингейл с удвоением ставки не получится. При таких больших потерях требуется хотя бы утраивать ставку, что приводит к быстрому росту ставок. Итак, мартнгейл в описанной лотерее выглядит намного хуже чем в казино.

Есть ли более приемлимые варианты мартингейла в числовых лотереях? Возьмем, например  наше, украинское  "КЕНО" 20 из 80. Варианта игры на один номер здесь нет, но можно играть на два числа. При равновероятном выпадении пар номеров вероятность выпадения заданной пары p = 20*19 / (80*79) ~ 0.0601 (это значит в среднем примерно два раза  за 33 тиража) за пару выплачивается восьмикратная ставка т.е. A=8, следовательно средний выигрыш равен примерно 8*0.0601 ~ 0.481 ставки. Это даже хуже, чем при игре на один номер в "КЕНО" 20 из 60. С другой стороны, восьмикратная призовая выплата позволяет использовать намного более "медленные" схемы увеличения ставки.

Выходит, что игра по мартингейлу для числовых лотерей сравнительно невыгодна? Не обязательно. До сих пор мы считали выпадение как отдельных шаров, так и пар в точности случайным и равновероятным. Так это или нет, вопрос спорный, но если в выпадении номеров имеются закономерности, то эффективность игры может быть резко увеличена. При случайном и равновероятном выпадении шаров, количество выпадений отдельных номеров и их комбинаций должно приближенно описываться так называемым нормальным распределением. То насколько сильно реальные числа выпадений отличаются от расчитаных для нормального распределения является мерой "неслучайности" или "неравновероятности" лотереи. Судя по результатам всех тиражей "КЕНО" статистика отдельных номеров неплохо согласуется с нормальным распределением. Что касается пар, то здесь согласие несколько хуже, это может указывать на существование корреляций между выпадением некоторых номеров. Хорошей теоретической модели описывающей выпадение пар  "КЕНО"  пока не придумали, но многие игроки научились неплохо предсказывать пары "КЕНО" основываясь на статистических данных . Поработайте с таблицами статистики, представленными нашим ресурсом, и если будете надежно "вылавливать" пару (хотя бы за месяц), можете браться за мартингейл. Какую схему повышения ставки выбрать, зависит в первую очередь от ваших финансовых возможностей и вашей "рискованности". Хотите играть экономно и осторожно - выбирайте самые медленные схемы, доходы при этом будут минимальные, но меньше риск и потери при неудаче. Если можете себе позволить большие ставки и любите рисковать - играйте быструю схему. 

Стратегии с повышением ставок можно использовать и в "Лото Тройке" - Украина (для варианта "довiльний") выигрыш возможно придется ждать очень долго, но большие величины призовой выплаты позволяет построить более медленную схему повышения ставки. Хотя в целом  "Лото Тройка" все же менее удачный выбор чем пары "КЕНО".