"Платон мне друг, но истина дороже …."
Позволю себе не согласиться с некоторыми выводами автора статьи "Фильтры и распределения" и защитить свою точку зрения. Вполне возможно, что и я ошибаюсь, но давайте все же разберемся. Итак, автор статьи предлагает уравнять в шансах все комбинации. Достаточно редкую: 1-2-3-4-5-6 и середнячка, к примеру , 2-12-27-34-35-48. Прав ли автор?
Часто в защиту "равноправия" приводят такой пример:
Имеется 13983816 вариантов. Тут спорить бесполезно. Давайте представим себе большой лототрон в который загружено 13983816 шаров, на каждом из которых написан номер комбинации - 1-2-3-4-5-6, 1-2-3-4-5-7, … и так далее до 44-45-46-47-48-49. Каков шанс в этом случае на выпадение конкретного шара? В этом случае шанс каждого шара действительно 1/13983816 !!! Вот видите, говорят защитники «равноправия», каждый вариант имеет одинаковые шансы. НО….
Все это было бы бесспорно, если бы мы так и играли – вытягивая единственный шар.
Но мы вытягиваем 6 шаров! Мы за один тираж как бы проигрываем 6 тиражей, и шансы динамически изменяются с выпадением очередного шара!
Попытка опровержения №1
Представим все те же 13983816 шаров. Но уже в свете того, что сказано выше, а именно того, что за тираж проигрывается как бы 6 тиражей. Поиздеваемся над шарами, и немного кастрируем их, чтобы разыгрывать тираж не за 6 тиражей, а за 2. Для этого из каждого шара заберем последнее число. Назовем те шары, в которых надпись длиннее шарами первого полутиража, а шары с единственным числом шарами второго полутиража. Может понятно будет на рисунке.
Рис.1.
Поместим шары первого полутиража в один лототрон, а второго во второй. Что произойдет? И в первом и во втором лототроне окажется по 13983816 шаров. Теперь для того, чтобы попасть на комбинацию 1-2-3-4-5-6 надо последовательно вытянуть из первого лототрона 1-2-3-4-5 , а потом из второго лототрона вытянуть 6. Каковы шансы на это? Шансы вытянуть из первого лототрона 1-2-3-4-5 ничем не лучше и не хуже других и равны 44/13983816, а вот шанс вытянуть из второго лототрона 6 уже гораздо меньше, хотя бы потому, что там только одна единственная шестерка из 13983816 шаров !!! и выпадет она с вероятностью 1/13983816. Ведь только один из 13983816 вариантов может оканчиваться 6. И если вдруг так получиться, что угадаем 1-2-3-4-5, саму по себе редкую комбинацию, то получить к ней в довесок 6 – это большая редкость. Шансы на это есть, но они мизерны. А один из принципов теории вероятности сформулирован так –
"принцип практической невозможности маловероятных событий": если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит. (кому сильно интересно пишите я попробую найти ссылку, по которой скачал книгу, из которой взята цитата).
Комбинация же 1-2-3-4-5-7 то же маловероятна, но шансы на выпадении в последнем разряде 7 выше, чем у 6 в несколько раз, так как во втором лототроне много семерок.
Можно пойти дальше и рассуждая так же проверить уже кастрированный шар 1-2-3-4-5, и кастрировать его еще раз. Для него пятерка выпадет тоже только в единственном случае из 13983816 попыток. Ну, и так далее. Что бы было понятнее, приведу еще пример из курса элементарной комбинаторики.
Готовится экипаж для космического полета J . В него могут войти только 3 человека. Претендентов на полет 5. Но распределены они могут быть только с учетом звания и заслуг перед Родиной.
Класс пилота |
претенденты |
петя |
коля |
миша |
вася |
гриня |
генерал |
майор |
лейтенант |
сержант |
ефрейтор |
Сколько вариантов экипажей может быть при этом ?
|
командир |
инженер |
стюардесса |
1 |
петя |
коля |
миша |
2 |
петя |
коля |
вася |
3 |
петя |
коля |
гриня |
4 |
петя |
миша |
вася |
5 |
петя |
миша |
гриня |
6 |
петя |
вася |
гриня |
7 |
коля |
миша |
вася |
8 |
коля |
миша |
гриня |
9 |
коля |
вася |
гриня |
10 |
миша |
вася |
гриня |
Каковы шансы Миши стать стюардессой? Только 1 шанс из 10 . Не позволяет ему, видишь ли, звание занимать этот пост, если есть младшие по званию. J. То же происходит и с комбинацией 1-2-3-4-5-6 - есть только одна возможность что 6 станет на 6 месте и это из 13983816 попыток ! И кроме того, только 1 раз из 10 Миша сможет командовать, потому как есть выше по званию, чем он.(но это аналог комбинации 44-45-46-47-48-49). А теперь представьте, что пилотов 49 и зовут их 1,2,3,4,5,6,7 ……49 и в полет отбирают только 6 претендентов J.
Попытка опровержения №2
Не буду утомлять описаниями. Читайте статью "Метод приложения сил".
Попытка опровержения №3
В №1 описан вариант, когда шары выпадают по порядку. Но шары ведь не выпадают по порядку? Что же в этом случае? Не будем принимать отдельную комбинацию 1-2-3-4-5-6, а, скажем, возьмем возможность попадания в один десяток. Каковы шансы, что все числа уложатся именно в один десяток? Противопоставим этому варианту другой, в котором шары могут уместиться в 2 десятка.
Итак, событие №1 – выпал 1 шар вероятность того, что он выпадет где-нибудь, равна 1 – ведь выпадет же он, в конце концов, хоть где–то? Допустим это шар №24. В таком случае для второго шара в первом варианте (1десяток) шансы составят 18/48=0,375, а во втором варианте 38/48=0,792. Поясним на рисунке. Для первого варианта шар должен выпасть в диапазоне 15-33, а для второго варианта возможный диапазон шире 5-43.
Рис.2
Событие №2 – выпал второй шар. Пойдем навстречу варианту с выпадением в 1 десяток и предположим, что шар таки выпал по прихоти этого варианта и угодил в означенный им диапазон. Пусть будет 19. Тогда шансы для выпадения третьего шара таковы.
Рис.3.
Для варианта в 1 десяток 12/47=0,255, а для варианта в 2 десятка 32/47=0,681
Суммарный шанс составит
Для варианта 1 десяток ---- 1* 0,375*0,255=0,096
Для варианта 2 десятка ---- 1*0,792*0,681=0,539
И так далее, не стану утомлять себя и вас. И тот и другой диапазон будет сужаться. И шанс для первого варианта «вылететь» из этого диапазона больше. Следовательно, его шанс на выпадение меньше, чем для варианта, где выигрыш распределен в 2 десятках. На основании вышеизложенного, я дерзну предположить, что НЕ ВСЕ ВАРИАНТЫ РАВНОЗНАЧНЫ и применение (разумное) фильтров которые отсеивают достаточно редкие комбинации имеет смысл.
...А может и нет…. Возражайте.